Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Что такое система счисления?

Два основных класса систем счисления:

• Непозиционные: значение цифры не зависит от занимаемой позиции (Римская система: X в числе X или XV всегда 10). Крайне сложны для автоматизированных вычислений.
• Позиционные: значение цифры определяется ее позицией (разрядом) в числе. Основание системы ($q$) определяет, во сколько раз изменяется вес соседних разрядов.

Развернутая форма записи числа

Любое число $A$ в позиционной системе с основанием $q$ представимо в виде степенного многочлена:

Основные системы счисления в ЭВМ

• Двоичная (q=2, алфавит: 0, 1): основной машинный уровень. Физически представляется напряжениями на шинах и триггерах.
• Восьмеричная (q=8, алфавит: 0..7): $8 = 2^3$. Используется для сжатой записи двоичных триад (исторические ЭВМ, права доступа UNIX).
• Десятичная (q=10, алфавит: 0..9): естественный язык человеческого взаимодействия и ввода-вывода.
• Шестнадцатеричная (q=16, алфавит: 0..9, A..F): $16 = 2^4$. Стандарт для адресации памяти, машинных инструкций, дампов ОЗУ и цветов.

Аппаратные причины выбора двоичной системы

1. Помехоустойчивость: надежно отличить два физических состояния (0 В и +3.3 В) при тепловых шумах и деградации схемы несравнимо проще, чем десять уровней.
2. Простота схемной реализации: базовые логические вентили (И, ИЛИ, НЕ) состоят всего из нескольких транзисторов.
3. Синхронизация с логикой: истинность и ложь булевой алгебры идеально ложатся на биты 1 и 0.

Перевод в десятичную систему: Сворачивание

Алгоритм:

1. Пронумеровать разряды числа целой части справа налево от $0$ до $n-1$.
2. Умножить каждую цифру на основание $q$ в степени номера разряда.
3. Сложить полученные произведения по правилам десятичной арифметики.

Перевод из шестнадцатеричной системы в DEC

Особое внимание буквенным эквивалентам: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.

Вес разрядов шестнадцатеричной системы растет стремительно: $16^0 = 1$, $16^1 = 16$, $16^2 = 256$, $16^3 = 4096$.

Перевод DEC → BIN: Метод деления на 2

Последовательно делим целое число на 2 нацело, фиксируя остатки, пока частное не станет равным нулю.

Инженерный принцип: обратная проверка

Проверяем полученный результат 11001₂ переводом обратно в десятичную систему:

Результат совпал с исходным числом (25 = 25). Корректность доказана.

Связь оснований 2, 8 и 16: Триады и тетрады

Так как основания являются степенями двойки ($8 = 2^3, 16 = 2^4$), переводы между ними выполняются мгновенно без деления:

Пример перевода BIN ↔ HEX через тетрады

Переведем 110111101010₂ в шестнадцатеричную систему:

1. Разбиваем на тетрады СПРАВА НАЛЕВО: 1101 | 1110 | 1010
2. Заменяем каждую тетраду на символ HEX:
   • 1101₂ = 8+4+0+1 = 13 = D
   • 1110₂ = 8+4+2+0 = 14 = E
   • 1010₂ = 8+0+2+0 = 10 = A

Осторожно: типичные ошибки при переводах

• Запись остатков в прямом порядке:
  Получив остатки 1, 0, 0, 1, 1, записать их как 10011₂ (19) вместо правильного снизу вверх 11001₂ (25).
• Разбиение на тетрады слева направо:
  Число 10111₂ при разбиении слева направо даст 1011 и 1000 (B8₁₆ = 184₁₀), тогда как корректно справа налево: 0001 и 0111 (17₁₆ = 23₁₀).
• Подмена цифры буквами HEX:
  Остаток 11 записывается не как 11, а как цифра B.

Экспресс-тренинг (1 минута)

Определите устно или в черновике:

1. Сколько бит занимает шестнадцатеричное число 7F₁₆?
2. Каково десятичное значение двоичного байта 10000001₂?
3. Чему равно число 16₁₀ в шестнадцатеричной системе?

Связь с архитектурой компьютера

• 1 Байт = 8 бит = 2 тетрады HEX (00 .. FF). Дампы памяти всегда выводятся байтовыми парами.
• Адресная шина: 32-разрядный процессор адресует память через 8 hex-символов (например, 0x00401000), а 64-разрядный — через 16 hex-символов.
• Машинное слово: регистры процессора оперируют двоичными разрядами напрямую через логические вентили.